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利用导数求极值

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    利用导数求极值

    先求导,然后让导数等于0,得出可能极值点,然后通过判断导数的正负来判断单调性,最后再得出极值,然后再计算端点值,比较大小,最大就是最大值,最小就是最小值

    这个问题非常简单,鉴于题主可能没学过导数,所以解答一下。

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    (1+x)^(x^2)=(1+x)^0=1

    这是1的零次方型极限

    先求导,然后让导数等于0,得出可能极值点,然后通过判断导数的正负来判断单调性,最后再得出极值,然后再计算端点值,比较大小,最大就是最大值,最小就是最小值。 不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x),x↦f'(x)也是一个函数,称作f(x)的导函数(简称导数)。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。 扩展资料: 极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值,而以该点处的值为最大(小),这函数在该点处的值就是一个极大(小)值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大(小),它就是一个严格极大(小)。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。 函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x),它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导,在x0处二阶可导,且f'(X0)=0,f"(x0)≠0,那么: 1)若f"(x0)<0,则f在x0取得极大值; 2)若f"(x0)>0,则f在x0取得极小值。 一般的,函数最值分为函数最小值与函数最大值。 最小值:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意实数x∈I,都有f(x)≥M。 ②存在x0∈I。 使得f (x0)=M,那么,我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。 最大值:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意实数x∈I,都有f(x)≤M。 ②存在x0∈I。 使得f (x0)=M,那么,我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。

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    一种是垂直渐近线:
    这种渐近线的形式为x=a,也就是函数在x=a处的值为无穷大。本题x=-3
    另一种是斜渐近线:
    这种渐近线的形式为y=kx+b,反映函数在无穷远点的性态(k=0时,为水平渐近线y=b)
    先求k,k=lim(x→∞)f(x)/x
    再求b,b=lim(x→∞)f(x)-kx
    本题:k=lim(x→∞)f(x)/x=lim(x→∞)[(x-4)²/x(x+3)²]=0
    b=lim(x→∞)f(x)-kx=lim(x→∞)[(x-4)²/(x+3)²]=1
    ∴渐近线为x=-3和y=1

    教材分析 从教学大纲和教材上看,导数的应用是重点,导数已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题已经成为热点。既有小题,侧重于利用导数确定函数的单调性和数值,也有解答题,侧重于导数的综合应用,即构造函数应用导数解决函数、数列、不等式等的综合问题。 教学目标 重  点:利用导数求函数的极值 难  点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 知识点:结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值 能力点:结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关系。 教育点:感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让学生体会极值是函数的局部性质,增强学生数形结合的思维意识。 自主探究点:分单元组探究函数的极值与导数的关系。 考试点:会用导数求函数的极大值与极小值 易错点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 拓展点: 教  法:⑴单元组合作探讨 (2)讲练结合法 教具准备:多媒体课件,投影仪. 课堂模式:学案导学 【教学过程】 一创设情景,导入新课 1、通过上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么? (学生回答) 设计意图:通过回顾旧知,加强学生对新知和旧知的联系,更便于利用旧知来学习新知。 二、探究新知 观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,回答以下问题 (1)当t=a时,高台跳水运动员距水面的高度最大,那么函数h(t)在t=a处的导数是多少呢? (2)在点t=a附近的图象有什么特点?  (3)点t=a附近的导数符号有什么变化规律? 共同归纳:  函数h(t)在a点处h'(a)=0,在t=a的附近,当t<a时,函数h(t)单调递增, h'(t)>0;当t>a时,函数h(t)单调递减, h'(t)<0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h'(a)=0. 对于这一事例是这样,对其他的连续函数是不是也有这种性质呢? 三、理解新知   1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象,回答以下问题:

    (1)函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

    (2) 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?

    (3)在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么,并且有什么关系呢?

    2、极值的定义:

    我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;

    点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

    极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.

    3、通过以上探索,你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗?

    充要条件:f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反

    4、引导学生观察图1.3.11,回答以下问题:

    (1)找出图中的极点,并说明哪些点为极大值点,哪些点为极小值点?

    (2)极大值一定大于极小值吗?

    四、应用新知

     思考  如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=f'(x)的图象?

         

    例4  求函数的极值

    教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点; ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.

    学生动手做,教师引导

    解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2)

    令=0,解得x=2,或x=-2.

    下面分两种情况讨论:

    (1)当>0,即x>2,或x<-2时;

    (2)当<0,即-2<x<2时.

    当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:

    x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)

    + 0 _ 0 +

    f(x) 单调递增 单调递减 单调递增

    因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极

    小值,且极小值为f(2)= -4/3

    函数的图象如:

    归纳:求函数y=f(x)极值的方法是:

    1求,解方程=0,当=0时:

    (1)如果在x0附近的左边<0,右边>0,那么f(x0)是极小值

    (2)如果在x0附近的左边>0,右边<0,那么f(x0)是极大值.

     五、课堂练习

    1、求函数f(x)=3x-x3的极值

    2、思考:已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值,

    求函数f(x)的解析式及单调区间。

    六、课后思考题

    1、若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,求实数b的范围。

    2、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值,求实数a的范围。

    七、课堂小结

    1、函数极值的定义

    2、函数极值求解步骤

    3、一个点为函数的极值点的充要条件。 

    八、作业  P32    5  ①   ④ 

    九、板书设计

    回顾

    1、  导数和函数单调性的关系是什么?      

     

    1.3.2 函数的极值与导数

    例4求函数



    的极值

     

    解题过程

     

     

     

     

    练习1

     

     

     

     

    练习2

     

     

     


     

    作业:

    必做:

    选做:

    教学反思

    本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练

     

    教学生理解利用导数求极值太费劲啦。一上午都在答疑

    let
    L = lim(x->0)(1+x)^(sinx)^2
    lnL
    = lim(x->0) (sinx)^2.ln(1+x)
    =0
    L = e^0 =1 本回答被提问者采纳

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