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函数的极值与导数教案

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    函数的极值与导数教案

     函数的极值与导数

     

    一、教学目标

    1   知识与技能

     〈1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

     〈2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值

    2 过程与方法

    结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关系。

    3 情感与价值

    感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让学生体会极值是函数的局部性质,增强学生数形结合的思维意识。

    二、重点:利用导数求函数的极值

    难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

    三、教学基本流程

    回忆函数的单调性与导数的关系,与已有知识的联系

     

    提出问题,激发求知欲

     

    组织学生自主探索,获得函数的极值定义

     

    通过例题和练习,深化提高对函数的极值定义的理解

     

    四、教学过程

     〈一〉创设情景,导入新课

    1、通过上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么?

    (提问C类学生回答,A,B类学生做补充)

        2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象,回答以下问题

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    (1)当t=a时,高台跳水运动员距水面的高度最大,那么函数在t=a处的导数是多少呢?

    (2)在点t=a附近的图象有什么特点?

    (3)点t=a附近的导数符号有什么变化规律?

    共同归纳:  函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t<a时,函数单调递增, >0;当t>a时,函数单调递减, <0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0.

    3、对于这一事例是这样,对其他的连续函数是不是也有这种性质呢?

    <二>探索研讨

    1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象,回答以下问题:

    (1)函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

    (2) 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?

    (3)在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么,并且有什么关系呢?

    2、极值的定义:

    我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;

    点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

    极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.

    3、通过以上探索,你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗?

    充要条件:f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反

    4、引导学生观察图1.3.11,回答以下问题:

    (1)找出图中的极点,并说明哪些点为极大值点,哪些点为极小值点?

    (2)极大值一定大于极小值吗?

    5、随堂练习:

       如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=的图象?

    <三>讲解例题

    例4 求函数的极值

    教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点; ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.

    学生动手做,教师引导

    解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2)令=0,解得x=2,或x=-2.

     

     

    下面分两种情况讨论:

    (1) 当>0,即x>2,或x<-2时;

    (2) 当<0,即-2<x<2时.

    当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:

    x

    (-∞,-2)

    -2

    (-2,2)

    2

    (2,+∞)

     

    +

     

    0

     

    _

     

    0

     

    +

     

    f(x)

     

    单调递增

     

    单调递减

     

    单调递增

    因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极

    小值,且极小值为f(2)=

    函数的图象如:

    归纳:求函数y=f(x)极值的方法是:

    1求,解方程=0,当=0时:

    (1) 如果在x0附近的左边>0,右边<0,那么f(x0)是极大值.

    (2) 如果在x0附近的左边<0,右边>0,那么f(x0)是极小值

    <四>课堂练习

    1、求函数f(x)=3x-x3的极值

    2、思考:已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值,

    求函数f(x)的解析式及单调区间。

    C类学生做第1题,A,B类学生在第1,2题。

    <五>课后思考题

    1、若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,求实数b的范围。

    2、已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值,求实数a的范围。

    <六>课堂小结

    1、函数极值的定义

    2、函数极值求解步骤

    3、一个点为函数的极值点的充要条件。

    <七>作业  P32    5  ①   ④

    教学反思

    本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练

    研讨评议

        教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获。

     

    1.ppt: 函数的极值与导数 http://www.thjy.edu.cn/fuchuner/Upfolder/file/633475876091550000139.ppt#313,2,幻灯片 2 2。高三第三章导数--函数的极值练习题带答案: http://xkwq.e21.edu.cn/e21sqlimg/files/fff20060103161420_326588905.doc 3. 函数的极值与导数ppt http://web.jsszzx.com/jyz/shuxue/kejian/3/%BA%AF%CA%FD%B5%C4%BC%AB%D6%B5%D3%EB%B5%BC%CA%FD(%CB%CE%D0%CB%B8%BB).ppt#268,1,幻灯片 1 4。利用导数求函数的极值 http://add.qhyedu.com/upload/upfile/213206848.doc

    若一个函数f(x)点x=m处取到极值,那么函数f(x)的导函数在这一点两侧的导数值异号. 若这个函数f(x)在这x=m这一点存在导数,那么函数f(x)在这一点处的导数值等于0.例如函数f(x)=x^3-3x^2-9x-9在点x=3和x=-1处取得极值, f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1) 则f'(3)=0,x∈(-1,3)时f'(x)0; f'(-1)=0,x∈(-1,3)时f'(x)0; 但是对于函数g(x)=|x|,它在x=0处有极小值(也是最小值) 当x0时,g'(x)=1, 虽然满足函数f(x)的导函数在这一点两侧的导数值异号,但是它在这一点处的导数值不存在.

    f(x)=x的立方-x的平方-x+a的图像是个类似于英文z,从负无穷递增上来到第一个极值点(极大值)再递减到第二个极值点(极小值)再递增到正无穷。y=f(x)与x轴仅有一个交点,就是它的极小值点纵坐标要大于0.

    f‘(x)=3x平方-2x-1,令f‘(x)=0,得x=-1/3或1,因此就是f(1)=1的立方-1的平方-1+a>0,即a>1时,y=f(x)与x轴仅有一个交点.

    1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。

    当一个函数在x0有极值,它的导函数△(x0)=0或△(x0)不存在

    可以从抛物线的切线求法入手,学生很快就能够理解。

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